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La fonction indicatrice d’Euler notée 
associe à tout entier naturel le nombre d’entiers inférieurs qui sont premiers avec lui.
La conjecture de Lehmer stipule que tout entier naturel n est premier si et seulement si ![n \equiv 1 [ \varphi( n ) ]](local/cache-TeX/cd96427df070942826fb0d49989dab22.png "n \equiv 1 [ \varphi( n ) ]"){kind=small}
Voici quelques résultats personnels sur la conjecture.
Démonstration :
est pair, donc ![n \equiv 1 [ \varphi( n ) ] \Rightarrow 2 | n-1](local/cache-TeX/671baafbf2277f7b16b62b289108a422.png "n \equiv 1 [ \varphi( n ) ] \Rightarrow 2 | n-1"){kind=small}
. Il s’ensuit que n est impair.
Démonstration :
Si n n’est pas un produit de nombre premiers distincts 2 à 2, alors il existe un nombre premier p tel que 
. Ainsi, 
, or 
, donc ![n \equiv 1 [ \varphi( n ) ] \Rightarrow p | 1](local/cache-TeX/f937edbddc085fbde0c09ab129a02bfa.png "n \equiv 1 [ \varphi( n ) ] \Rightarrow p | 1"){kind=small}
ce qui est impossible car p est premier.
Démonstration :
Si n est un produit de 2 nombres premiers p et q, comme d’après la proposition précédente, 
, alors 
.
Donc ![n \equiv 1 [ \varphi( n ) ] \Rightarrow (p-1)(q-1) | pq-1](local/cache-TeX/2e43de04a25315ddce3f393a9203f2ad.png "n \equiv 1 [ \varphi( n ) ] \Rightarrow (p-1)(q-1) | pq-1"){kind=small}
Or 
, donc 
et 
. Il s’ensuit que 
, ce qui est en contradiction avec les hypothèses.
Les premières propositions nous montrent que les nombres composés vérifiant la relation de congruence sont des nombres de Carmichaël. Il est d’ailleurs facile de le démontrer en remarquant que
![n \equiv 1\ [ \varphi( n ) ] \Rightarrow \forall a \not = n, a^{n-1} \equiv \left(a^{\varphi(n)}\right)^k \equiv 1^k \equiv 1 \ [ n ]](local/cache-TeX/33f7898db39a53b39aa0a1de4dcacb9d.png "n \equiv 1\ [ \varphi( n ) ] \Rightarrow \forall a \not = n, a^{n-1} \equiv \left(a^{\varphi(n)}\right)^k \equiv 1^k \equiv 1 \ [ n ]"){kind=small}
Dans la démonstration de ta 3ème proposition, il y a quelque chose qui me chiffonne.
Il s’agit de pq-1=(p-1)q+p-1=(q-1)p+q-1 car si l’on développe on ne trouve pas pq-1.
Pourrais-tu vérifier ? Et m’expliquer si cela est vrai.
Oups, en effet, petite inversion :
pq-1 = (p-1)q + q - 1 = (q-1)p + p - 1
Le reste du raisonnement est bon.
J’ai eu beau chercher une éventuelle démonstration que n n’est pas le produit de 3 nombres premiers. J’arrive à une difficulté insurmontable. Aurais-tu la moindre petite idée ?
C’est facile : Si 
, alors 
:
http://villemin.gerard.free.fr/ThNbDemo/TextCarm.htm#C561
Tu vérifies que 561 n’est pas un contre exemple.
Ensuite, tu crées la fonction 
.
Tu peux donc considérer que p,q et r sont strictement supérieurs à 3.
Or 
et la fonction est décroissante, donc il n’y a pas de produit de 3 nombres premiers qui est un contre exemple.
D’accord mais ce n’est tout de même pas très facile. Penses-tu que l’on pourrait généraliser à un produit de k facteurs premiers distincts à l’aide des propriétés des nombres de Carmichael ?
Non, on ne peut pas généraliser. Un article a été écrit sur le sujet :
http://www.math.tu-berlin.de/ kant/ants/Poster/Pinch_Poster3.pdf
Et il est possible de démontrer que lorsque le nombre de facteurs tend vers l’infini, la fonction tend vers l’infini, même si étant donné un nombre fixe de facteurs, la fonction décroît.
Si je comprend bien, il suffit presque de montrer que la fonction de k facteurs admet toujours un nombre qui n’est pas un contre exemple et la suite s’ensuit. Il serait peur-être possible de généraliser de cette manière là puisque la fonction décroît toujours.
Non, ce n’est pas exactement cela.
Par exemple si f(p,q,r,s) = 2.4, alors pqrs n’est pas un contre exemple.
Tu voudrais donc en conclure que comme f décroît, alors aucun produit de 4 facteurs premiers n’est un contre exemple, mais rien ne te dit que dans la décroissance, f ne passera pas par 2. Tu comprends ?
( Je définis f par 
)
Dans le 4e commentaire,
le numérateur de la fonction f ne serait pas plutôt "pqr-1".
Oui, mais dans mon exemple, on n’avait pas besoin de retirer 1 au numérateur pour vérifier que la fonction était strictement inférieure à 2. Ce 1 est une constante qui n’a pas d’impact sur les variations de la fonction, tandis que si l’on enlevait un 1 dans un des facteurs du dénominateur, on dénaturerait la fonction. Ceci peut bien entendu être démontré.
N’auriez-vous pas des documents de référence sur le sujet car j’ai un peu de mal à en trouver, svp ?
Merci d’avance...
Bonjour,
La littérature sur la question est essentiellement anglophone. Voici un lien qui traite de la question :
http://books.google.fr/books ?id=B2WZkvmFKk8C&pg=PA212&lpg=PA212&dq=lehmers%27+conjecture+euler%27s+totient&source=bl&ots=JhFJNLo2AD&sig=eD85ApokctkOD0bDRhKTpWWs6vA&hl=fr&ei=fQWyS43tK5qG4gaxp_HhAg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0CA0Q6AEwAQ#v=onepage&q=&f=false