Diagonalisation de matrices

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Partie théorique

Soit une matrice carrée A de $\mathcal{M}_n$ .

$A = \left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & .. & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & .. & a_{2n}\\ .. & .. & .. & ..\\ a_{n1} & a_{n2} & .. & a_{nn}\\ \end{array}\right)$

Son polynôme caractéristique est

$P_A(X) = det(M - {X}I_n) = \left|\begin{array}{cccc} a_{11}-X & a_{12} & .. & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22}-X & .. & a_{2n}\\ .. & .. & .. & ..\\ a_{n1} & a_{n2} & .. & a_{nn}-X\\ \end{array}\right|$

avec $I_n$ la matrice identité d’ordre $n$ .

$P_A(X)$ est un polynôme de degré $n$ .

Il peut s’écrire sous la forme

$P_A(X) = (X-\lambda_1)^{\alpha_1}(X-\lambda_2)^{\alpha_2}...(X-\lambda_i)^{\alpha_i}$

Avec $\sum_{k=1}^{i} \alpha_k = n$ .

$\lambda_k$ est une valeur propre de $A$ est $\alpha_k$ est son ordre de multiplicité.

La matrice est diagonalisable si et seulement si les espaces propres sont de dimension égale à leur ordre de multiplicité.

Soit $E_k$ l’espace propre associé à la valeur propre $\lambda_k$ , $M_k$ la matrice $A-\lambda_kI_n$ .

$u \in E_k \Rightarrow M_{k}\left(\begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ ..\\ x_n\\ \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ ..\\ 0\\ \end{array}\right)$

En résolvant le système par la méthode de Gauss, nous trouvons des variables essentielles qui peuvent s’exprimer en fonction des variables libres. Par exemple nous trouvons parmi les relations $x_1 = \frac{x_2}{3}$ , nous pouvons écrire

$\left(\begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ ..\\ x_n\\ \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} x_1\\ 3x_1\\ ..\\ x_n\\ \end{array}\right) = x_1\left(\begin{array}{c} 1\\ 3\\ ..\\ 0\\ \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ ..\\ x_n\\ \end{array}\right)$

Nous allons donc trouver autant de vecteurs qu’il y a de variables libres. Ces vecteurs sont les vecteurs propres associés à la valeur propre $\lambda_k$ et forment une base de $E_k$ . S’il y a $\alpha_k$ variables libres ( autant de variables libres que l’ordre de multiplicité de la valeur propre ) pour chaque espace propre, alors la matrice est diagonalisable.

Astuce : La dimension d’un espace propre étant au minimum égale à 1, si l’ordre de multiplicité est 1, il est inutile de calculer l’espace propre.

Maintenant que nous savons si la matrice est diagonalisable ou non, cherchons les matrices $P$ et $P^{-1}$ tel que $P^{-1}AP$ soit une matrice diagonale.

Il existe une infinité de matrices diagonales associées à A. Une matrice $P$ triviale est celle composée des vecteurs propres de A.

Il suffit alors de trouver la matrice échelonnée réduite de $(PI_n)$ par la méthode de Gauss pour trouver $(I_nP^{-1})$ et donc l’inverse de $P$ .

Exemple pratique

Soit la matrice $A = \left(\begin{array}{ccc} 0 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right)$ de $\mathcal{M}_3$

$P_A(X) = \left|\begin{array}{ccc} -X & 3 & -1 \\ 2 & -1-X & 1 \\ 0 & 0 & 2-X \end{array}\right| = -(2-X)^2(3+X)$

Les valeurs propres sont donc $\lambda_1 = 2$ d’ordre de multiplicité 2 et $\lambda_2 = -3$ d’ordre de multiplicité 1. ( Attention, ne pas oublier le signe - devant 3 car $3+X = X-(-3)$ .

Soit l’espace propre $E_1$ associé à la valeur propre $\lambda_1 = 2$ . Soit la matrice $M_1 = A-\lambda_1I_3$

$M_1 = \left(\begin{array}{ccc} -2 & 3 & -1 \\ 2 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$

Résolvons le système suivant $M_1u=0$ :

$\left(\begin{array}{ccc} -2 & 3 & -1 \\ 2 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\\ \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\\ \end{array}\right)$

Nous trouvons $-2x_1 + 3x_2 - x_3 = 0$ . Ainsi, nous pouvons écrire

$\left(\begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\\ \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ -2x_1 + 3x_2\\ \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} x_1\\ 0\\ -2x_1\\ \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} 0\\ x_2\\ 3x_2\\ \end{array}\right) = x_1\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ -2\\ \end{array}\right) + x_2\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 3\\ \end{array}\right)$

Une base de $E_1$ est donc $\left\{\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ -2\\ \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 3\\ \end{array}\right) \right\}$ .

Pour l’espace propre $E_2$ , nous savons qu’il a une dimension au moins égale à 1, or sa dimension est inférieure ou égale à son ordre de multiplicité, donc $dim(E_2) = 1$ .

$M_2 = \left(\begin{array}{ccc} 3 & 3 & -1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 5 \end{array}\right)$

En résolvant le système $M_2x=0$ , nous obtenons $x_3=0$ et $x_1 = -x_2$ .

Une base de $M_2$ est donc $\left\{\left(\begin{array}{c} 1\\ -1\\ 0\\ \end{array}\right) \right\}$ .

Comme la dimension de chacun des espaces propre est égale à leur ordre de multiplicité, la matrice A est diagonalisable.

Déterminons une matrice $P$ telle que $P^{-1}AP$ est une matrice diagonale.

$P = \left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & -1\\ 3 & -2 & 0\\ \end{array}\right)$

Par la méthode de Gauss, nous obtenons

$P^{-1} = \left(\begin{array}{ccc} 2/5 & 2/5 & 1/5\\ 3/5 & 3/5 & -1/5\\ 2/5 & -3/5 & 1/5\\ \end{array}\right)$

Nous nous obtenons donc la matrice diagonale qui est en l’occurrence également triangulaire.

$P^{-1}AP = \left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & -3\\ \end{array}\right)$

Remarque : en inversant l’ordre des vecteurs dans la matrice $P$ , nous obtenons une autre matrice diagonale équivalente à $A$ .

Commentaires

kao a dit le 4 janvier 2009

TROP PUISSANT

Rocky a dit le 8 mars 2009

Les Maths sont puissants ! Les Matrices en sont le fer de lance !

FSA a dit le 13 mars 2009

bon site bien présenté et bien clair, merci

Ben a dit le 17 mars 2009

Merci pour cet exemple qui m’a permis de me remettre en mémoire les matrices.
Juste une petite rectification : l’avant dernière matrice correspond à P-1 et non pas P.

Encore merci et bonne soirée.

fsr a dit le 29 mars 2009

pour la matrice diagonale on écrit les valeurs propres selon l’ordre croissants ou décroissants ??????????HELP

Ludovic PATEY a dit le 29 mars 2009

Regardes la remarque : "en inversant l’ordre des vecteurs dans la matrice P, nous obtenons une autre matrice diagonale équivalente à A."

Autrement dit, tu peux les mettre dans l’ordre que tu veux, en revanche, cela signifie que la matrice de passage sera changée.

walid a dit le 30 mars 2009

les matrices outils fondamentl

fsr a dit le 2 avril 2009

merci pour ta réponse,je n’ai pas fait attention à la remarque.thanks

girigiri a dit le 10 mai 2009

good work thank you man

emna a dit le 22 mai 2009

merci de votre aide

a dit le 19 juillet 2009

merci bep c’est très utile

Marine a dit le 13 août 2009

Et comment on en déduit une base (ei)i=1,2,3 de R^3 orthogonale une fois qu’on en a déduit que A est diagonalisable ??

Merciii d’avance !!

Ludovic PATEY a dit le 28 août 2009

J’ai oublié :) Il faudrait que je relise mes cours et ce n’est pas ma priorité à court terme. Renseignes-toi donc sur un forum de mathématiques, du genre les-mathematiques.net. Bonne chance.

Raya a dit le 29 octobre 2009

Oui un outils fondamental

Djihan a dit le 31 octobre 2009

Bonjour,
Pourrait on m’expliquer pourquoi pour la matrice P il y a
0 1 1
1 0 -1
3 -2 0
moi j’aurai inversé les colonnes 1 et 2 pour avoir
1 0 1
0 1 -1
-2 3 0
qui correspond à l’ordre qu’on a déterminé, la première colonne étant celle du x pour M1u=0 et la seconde celle du y pour M1u=0
Merci de me répondre
Cordialement

Ludovic PATEY a dit le 31 octobre 2009

@Djihan
L’ordre des colonnes n’est pas très importante puisque l’on trouve alors une matrice diagonale équivalente. Effectivement, la matrice que vous me donnez aurait été plus logique étant donné le raisonnement précédent.

Houma a dit le 1er novembre 2009

Pour le vecteur V3 pourquoi on a pas choisit -1, 1, 0 plutôt que 1,-1,0 ?

ludo a dit le 12 novembre 2009

Est-ce que quelqu’un peu m’aider : c’est à dire du début de l’exemple pratique, pour moi ça coince. C’est à dire que je comprends pas le résultat -(2-X)²(3+X) d’OU ça sort ?

Merci d’avance

Ludovic PATEY a dit le 12 novembre 2009

C’est simple, tu calcules le déterminant :

$<br /> \left|\begin{array}{ccc} -X & 3 & -1 \\ 2 & -1-X & 1 \\ 0 & 0 & 2-X \end{array}\right| = -X \left|\begin{array}{cc}-1-X & 1\\ 0 & 2-X\end{array}\right| -2 \left|\begin{array}{cc}3 & -1\\ 0 & 2-X\end{array}\right| + 0\left|\begin{array}{cc}3 & -1\\ -1-X & 1\end{array}\right|<br />$
$<br /> \left|\begin{array}{ccc} -X & 3 & -1 \\ 2 & -1-X & 1 \\ 0 & 0 & 2-X \end{array}\right| = -X(-1-X)(2-X) - 3*2(2-X)<br />$

Et avec quelques manips, on obtient l’égalité précédente. Je l’ai directement mis sous forme factorisée dans l’exemple pour que l’on voie les racines.

ludovic a dit le 14 décembre 2009

j’ai une matrice symétrique d’ordre 4 et j’ai trouvé des problème pour diagonaliser cet matrice vous pouvez m’édé merci mon adrece emai est houda.magoussi@hotmail.com

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