Et les négatifs ? a dit le 14 juillet 2009
Quels sont les résultats sur les cas dont le terme initial est un nombre négatif ? Des propriétés sur les cas négatifs pourraient-ils selon vous aider à traiter les cas positifs ?
Les axes de recherche
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L’argument heuristique
Outre les résultats empiriques tendant à donner raison à la conjecture - il est toujours possible de trouver un contre-exemple -, un des arguments principaux soutenant la conjecture est un argument probabiliste basé sur la répartition uniforme de nombres pairs et nombres impairs.
Etant donné un entier naturel, il y a 
de chances qu’il soit pair et qu’il soit impair. Si le nombre est pair, il y a de chances qu’il soit divisible par 4 et de chances qu’il ne le soit pas... Ainsi, en moyenne, le terme sera multiplié par
Le coefficient multiplicateur moyen étant inférieur à 1, la suite va avoir tendance à décroître. Il s’agit cependant d’une probabilité et non d’une certitude. Cet argument n’a donc aucune valeur de preuve, mais permet de conforter les mathématiciens dans l’idée que la conjecture est vraie.
Les axes de recherche
Bien que les probabilités soutiennent la conjecture, celle-ci a résisté à ce jour aux tentatives des mathématiciens se retrouvant face à un mur. Les axes de recherche sont nombreux, trop même pour être tous évoqués. Nous nous contenterons donc de quelques grands axes :
Parité et classes d’entiers
Les variations de la suite de Syracuse dépendant de la parité de ses termes, il est tout à fait normal que les mathématiciens se soient penchés sur l’étude de leur parité. Elle peut être effectuée sous plusieurs formes :
Elle se présente tout d’abord sous la forme d’une étude des séquences des restes de la division euclidienne par 2 des termes des suites de Syracuse : 
. En effet, chaque suite peut être caractérisée par sa séquence de parité. L’énoncé de la conjecture équivaudrait alors à la conjecture suivante : « Toute séquence de parité finit par boucler sur le cycle 
. »
Par exemple, pour 
, les termes suivants étant\\ 
, nous obtenons 
Chaque terme impair étant obligatoirement suivi d’au moins un terme pair, une nouvelle séquence est apparue : celle se la plus grande valeur 
telle sa puissance de 2 divise le terme. Toujours pour , la séquence est alors 
. La conjecture devient alors « Toute séquence devient stationnaire de valeur 2. »
Construction de contre-exemples
Une des approches de la conjecture a été la recherche de contre-exemples. En effet, si les ordinateurs n’en n’ont trouvé aucun à ce jour, cela ne signifie pas pour autant qu’il n’en n’existe pas : certaines conjectures ont été réfutées à l’aide de contre-exemples de très grande taille comme pour la conjecture de Mertens.
Paul Stadfeld a étudié la création de contre-exemples pour les variantes de la conjecture de la forme 
, 
différent de 1. Il a notamment prouvé que la conjecture de Syracuse était fausse pour tout n’étant pas une puissance de 3. Cependant, sa méthode ne peut s’étendre au cas où 
. Sa démarche permet d’attirer l’attention sur l’intérêt que peut représenter la construction de contre-exemples pour pallier aux limites des capacités des ordinateurs actuels.
Vérification empirique
Bien qu’il soit impossible de démontrer la conjecture de Syracuse empiriquement, du fait de l’existence d’une infinité d’entiers naturels, la vérification empirique de la conjecture permet de conforter les mathématiciens dans leur intuition selon laquelle toute suite va atteindre 1. De plus, il n’est pas impossible de tomber sur un contre-exemple qui serait alors un cycle non-trivial ( en effet, il n’est pas possible de vérifier empiriquement qu’une suite diverge, mais il est possible de vérifier qu’elle est périodique ).
La conjecture est vérifiée pour tous les nombres inférieurs à 
.
Des mathématiciens ont également trouvé une minoration de la longueur d’un cycle non trivial en fonction du nombre 
tel que tous les entiers qui lui sont inférieurs vérifient la conjecture. C’est notamment l’approche de Matti K. Sinisalo qui obtient le résultat suivant :
Le résultat de Sinisalo a pour conséquence de prouver que s’il existe un cycle non-trivial, il est de très grande taille. Un exemple de création d’une minoration de la longueur des cycles non-triviaux est proposé un peu plus loin.
Il existe de nombreux moyens d’optimiser la vérification empirique, en remarquant par exemple que le premier nombre ne vérifiant pas la conjecture aura une durée de vol en altitude infinie, ce qui exclus les nombres pairs, et les nombres de la forme 
. En effet, 
.
La recherche d’optimisations de la vérification empirique fait l’objet d’une étude à part entière par la communauté mathématique.
Généralisation et indécidabilité
Face à l’échec des différentes tentatives de démonstration, des mathématiciens comme John Conway se sont penchés sur la question de l’indécidabilité de la conjecture. Pour cela, ils se sont basés sur une généralisation des suites de Syracuse :
Une suite généralisée de Syracuse est de la forme
![\begin{array}{l}
u_0 = N\\
u_{n+1} = \left \{ \begin{array}{ll}
a_1{\times}u_n+b_1 & \mbox{Si}\ u_n \equiv 0\ [p]\\
a_2{\times}u_n+b_2 & \mbox{Si}\ u_n \equiv 1\ [p]\\
... & \\
a_p{\times}u_n+b_p & \mbox{Si}\ u_n \equiv p-1\ [p]
\end{array}
\right.
\end{array}](local/cache-TeX/b8295dff0a8650d873bf6eb8145e03ca.png "\begin{array}{l}
u_0 = N\\
u_{n+1} = \left \{ \begin{array}{ll}
a_1{\times}u_n+b_1 & \mbox{Si}\ u_n \equiv 0\ [p]\\
a_2{\times}u_n+b_2 & \mbox{Si}\ u_n \equiv 1\ [p]\\
... & \\
a_p{\times}u_n+b_p & \mbox{Si}\ u_n \equiv p-1\ [p]
\end{array}
\right.
\end{array}")
avec 
un entier naturel strictement supérieur à 2, et 
et 
des nombres rationnels.
En 1972, John Conway prouve l’indécidabilité algorithmique de la généralisation des suites de Syracuse ( impossibilité de vérifier la véracité ou de réfuter certaintes suites de Syracuse par un algorithme ). Ce résultat ne prouve cependant pas l’indécidabilité la conjecture, d’autant plus que la notion d’indécidabilité est relative à une théorie.
Ce résultat permet cependant de mieux comprendre la difficulté qu’ont les mathématiciens à résoudre le problème de Syracuse.
Etude de la fonction de Syracuse
Voici des résultats personnels sur la conjecture de Syracuse.
Commentaires
Ludovic PATEY a dit le 14 juillet 2009
Le cas des nombres négatifs a été étudié dans le papier suivant qui essaye de construire un contre exemple en se basant sur des variantes du problème :
http://home.versatel.nl/galien8/blueprint/blueprint.html
Personnellement, je ne pense pas que cela puisse aider à traiter les cas positifs en raison des résultats obtenus pour des généralisations du problème.