Auteur: Ludovic PATEY

Publié le 31 mai 2008

Modifié le: 31 mai 2008

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Antécédents de 1 par F

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Antécédents par f

Dans cette partie, nous allons nous pencher sur les antécédents de \{1\} par f^p.

\forall p \in \mathbf{N}, x \in f^{-p}(\{1\}) \Rightarrow f^p(x) = 1

La conjecture de Syracuse est équivalente à l’égalité suivante

f^{-\infty}(\{1\}) = \mathbf{N}

Du fait de l’existence du cycle trivial, 1 \in f^{-1}(\{1\}). Il en découle que 1 \in f^{-p}(\{1\}). Nous obtenons donc la relation d’inclusion suivante :

\forall p \in \mathbf{N}, \forall q \in \mathbf{N}, p < q \Rightarrow f^{-p}(\{1\}) \subset f^{-q}(\{1\})

Les antécédents de \1\ par f sont relativement simples à trouver : il s’agit des puissances de x tels que 3x+1 est une puissance de 2 :

f^{-1}(\{1\}) = \{x \in \mathbf{N}, 3x+1 = 2^k, k \in \mathbf{N^*} \}

L’ensemble des k tels quel 3 divise 2^k-1 est l’ensemble des nombres pairs. En effet, 3 \mid 2^k-1 \Rightarrow 2^k \equiv 1 [3], or 2 \equiv -1 [3], donc 2^k \equiv (-1)^k [3].

Nous obtenons donc l’égalité

f^{-1}(\{1\}) = \{1\} \cup \left\{\frac{(2^{2k}-1)}{3}, k \in \mathbf{N^*} \right\}

Les antécédents de \{1\} par f^2 sont, outre les antécédents par f, l’ensemble des x tels que 3x+1 \in \left\{2^k.f^{-1}(\{1\}), k \in \mathbf{N} \right\}.

Par des procédés de calcul similaires, nous obtenons

U_1 = \left\{ \frac{ \left(2^{2(3k_1+1)}-1\right)2^{2k_2} - 3}{3^2}, (k_1,k_2) \in \mathbf{N}\times\mathbf{N^{*}} \right\}

U_2 = \left\{ \frac{ \left(2^{2(3k_1+2)}-1\right)2^{2k_2+1} - 3}{3^2}, (k_1,k_2) \in \mathbf{N^{2}} \right\}

f^{-2}(\{1\}) = f^{-1}(\{1\}) \cup U_1 \cup U_2

L’expression des antécédents de \{1\} par f^p devient très rapidement compliquée. Le nombre de sous-ensembles croît avec p car le nombre de variables k_i augmente.

Pour p = 3, notons

U_{a,b,c} = \frac{ \left(\left(2^{a}-1\right)2^{b} - 3\right)2^{c}-3^2}{3^3}

f^{-3}(\{1\}) = f^{-2}(\{1\}) \begin{array}{ll} \cup\ U_{2(3(3k_1)+1), 2(3k_2+1), 2k_3} & \cup\ U_{2(3(3k_1)+1), 2(3k_2+2), 2k_3+1}\\ \cup\ U_{2(3(3k_1+1)+1), 2(3k_2), 2k_3+1} & \cup\ U_{2(3(3k_1+1)+1), 2(3k_2+1), 2k_3}\\ \cup\ U_{2(3(3k_1+2)+1), 2(3k_2),2k_3+1} & \cup\ U_{2(3(3k_1+2)+1), 2(3k_2+2), 2k_3} \end{array}

Avec les k_i décrivant \mathbf{N}

Il est possible de généraliser l’égalité pour tout p, mais nous ne le ferons pas car la formule générale est très peu lisible et n’apporte pas d’élément remarquable permettant d’espérer obtenir de nouveaux outils pour démontrer la conjecture.

Ces résultats ne sont pas tout à fait inutiles, car nous pouvons en déduire que les équations diophantiennes obtenues à partir des f^{-p}(\{1\}) n’ont pas \mathbf{N} pour solution, car en cas contraire, l’ensemble des nombres de termes impairs de la suite de Syracuse serait majoré par p.

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