Présentation de la conjecture
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- La conjecture de Syracuse
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Introduction
La théorie des nombres est souvent considérée comme étant aux mathématiques ce que sont les mathématiques aux autres sciences. Ses conjectures font l’objet de fascination pour les mathématiciens, de par la simplicité des énoncés et leurs paradoxales difficultés à être démontrées. La conjecture de Syracuse fait partie de ces grandes conjectures de la théorie des nombres. Circulant d’universités en universités, proposées par des mathématiciens comme Lothar Collatz dont on attribue souvent la parternité du problème, cette conjecture a mobilisé tant de mathématiciens durant les années de « Guerre Froide » que des rumeurs ont été véhiculées, selon lesquelles ce problème aurait été inventé par les soviétiques pour ralentir la recherche américaine.
La conjecture de Syracuse, parfois appelée problème de Collatz ou problème 3n+1, ne présente pourtant pas de véritables enjeux au niveau de ses applications.
Ce document a pour but de présenter le problème et l’état d’avancement actuel des recherches sur le sujet.
Présentation de la conjecture
La conjecture porte sur une suite connue sous plusieurs formes qui sont équivalentes quand à la problématique.
La forme la plus connue est
Mais on la trouve également sous la forme
En effet, si 
est impair, 
est pair, donc divisible par 2.
Enoncé de la conjecture
D’après la conjecture de Syracuse, il existe un rang à partir duquel la suite va atteindre 1 et effectuer des cycles 
( ou 
avec la seconde formulation ) indéfiniment.
Les suites ne vérifiant pas la conjecture seraient donc les suites divergeant vers 
et les suites périodiques de cycle est différent du cycle trivial.
Il existe d’autres formulations de la conjecture, toutes équivalentes. Celles-ci seront données après la une petite introduction à la terminologie utilisée à propos de la suite.
Terminologie associée
La suite étant minorée par 1, sa représentation graphique ressemble à une trajectoire de vol. Ainsi s’est-il développé toute une terminologie autour de la suite, facilitant ainsi l’étude de certains de ses aspects.
Le vol est l’ensemble des valeurs prises par la suite avant d’atteindre le cycle trivial.
La durée de vol est le plus petit indice n tel que 
.
La durée de vol en altitude est le plus petit indice n tel que 
.
L’ altitude maximale est la plus grande valeur des termes de la suite.
Le facteur d’expansion est le rapport de l’altitude maximale sur 
.
Exemple avec N = 12
Prenons l’exemple du vol pour 
, afin de clarifier les notions introduites :
. C’est un nombre pair, donc 
.
. C’est également un nombre pair, donc 
.
. Ce terme est impair. Ainsi 
.
. Nous retrouvons un nombre pair. 
.
. Le terme est impair. 
.
. C’est une puissance de 2, donc 
, 
, 
, et 
La suite de Syracuse de premier terme vérifie donc la conjecture.
Le vol pour est donc 
Sa durée de vol est 9 ( )
Sa durée de vol en altitude est 1 ( 
)
Son altitude maximale est 16.
Son facteur d’expansion est 
.
Voici un graphique représentant son vol :
Quelques propriétés
Comme nous pouvons le constater, après tout terme impair vient un terme pair.
En effet, si est impair, il est de la forme 
, or 
qui est pair.
Cette propriété justifie l’existence de la variante de la suite de Syracuse que nous avons vu précédemment.
Maintenant que nous avons introduit le vocabulaire associé à la conjecture, voici quelques formulations équivalentes :
Pour tout N, la suite associée a une durée de vol finie.
Pour tout N, la suite associée a une durée de vol en altitude finie.
La première formulation utilise tout simplement la définition de durée de vol : si toute durée de vol est finie, alors il existe un terme égal à 1, et la suite vérifie donc la conjecture.
La seconde formulation est un peu moins directe : elle se démontre à travers un raisonnement par l’absurde : Si pour tout N, la suite associée à la durée de vol en altitude est finie et la conjecture de Syracuse est fausse, alors l’ensemble des N ne vérifiant pas la conjecture est une partie non vide de N, donc admet un plus petit élément. Comme il admet une durée de vol en altitude finie, alors un des termes suivants est plus petit que lui, et ne vérifie pas la conjecture puisqu’il se situe dans la même suite que N. Ainsi, N n’est pas le plus petit nombre ne vérifiant pas la conjecture.
Par conséquent, si une suite a une durée de vol infinie ou une durée de vol en altitude infinie, elle ne vérifie pas la conjecture de Syracuse.
Les axes de recherche
Depuis l’apparition de la conjecture, bien des mathématiciens se sont penchés sur la question. Voici quelques axes de recherche.
Commentaires
Samuel LEVY a dit le 11 janvier 2010
Je m’intéresse depuis longtemps à la suite de Syracuse et j’ai constaté qu’il existe un autre algorithme qui donne les mêmes résultats que la suite 3n+1 à savoir pour tout n entier supérieur à 0 :
si n est impair, le terme suivant est 2n+2
si n est pair, le terme suivant est n /2
Cette suite est-elle équivalente à la suite de Syracuse ou est-ce une autre suite ? A-t-elle été testée informatiquement sur de très grands nombres ?
Merci pour votre réponse à l’adresse email suivante :
samboulogne@wanadoo.fr
Meilleures salutations.
Samuel LEVY
Ludovic PATEY a dit le 11 janvier 2010
Bonjour,
Globalement, votre suite est équivalente à
si n est impair, le terme suivant est n+1
si n est pair, le terme suivante est n/2
Il est facile de démontrer que cette suite finit par converger vers 1. Il suffit de raisonner par récurrence, et montrer que l’on multiplie en gros par 1/2 le nombre à chaque itération, ce qui montre la décroissance.
